Was ist… Topologie?

Bereits ein paar Mal habe ich die Topologie erwähnt und nie so wirklich erklärt, worum es sich dabei handelt. Das möchte ich heute ändern und euch zumindest eine Idee davon geben, womit sich Topologen beschäftigen und wie sie die Welt sehen.

Ähnlich wie in der Geometrie beschäftigt man sich in der Topologie mit Formen. Anders als Geometer interessieren sich Topologen aber nicht für konkrete Größen, Längen oder Winkelverhältnisse. Auch Unterscheidungen, auf welchen Oberflächen sich die Formen befinden, sind für topologische Betrachtungen komplett uninteressant.

Ein topologischer Quasikreis – Für einen Topologen ist das hier quasi ein Kreis. Klingt vielleicht eigenartig, ist aber so…

Ihren Ursprung hat die Topologie in den Arbeiten Leonhard Eulers, die sich an die Fragestellung zum Königsberger Brückenproblem anschlossen. Euler schuf mit seinem Polyedersatz die sogenannte Euler’sche Charakteristik. Das ist eine Kennzahl, die die Ecken, Kanten und Flächen eines Körpers in Beziehung setzt. Konkret lautet die Formulierung: Es gilt immer: E – V + 1 = F. Wobei E die Anzahl der Linienabschnitte ist, V die Anzahl der Schnittpunkte und F sei die Anzahl der Innenflächen. Diese Formel lässt sich leicht auf Graphen und Körper in verschiedenen Dimensionen anpassen.

Für einen Topologen ist die entscheidene Frage immer: Kann ich einen sogenannten Homöomorphismus zwischen zwei Formen finden? Anschaulich ist das die Frage, ob ich zwei Formen ineinander umwandeln kann. Nur indem ich sie dehne, stauche, biege oder ähnliches mit ihnen anstelle. Verboten ist: Schneiden oder Zusammenkleben.

Wird hier ein Donut oder eine Tasse mit Kaffee gefüllt? Aus topologischer Sicht gibt es keinen Unterschied! (*)

Konkret bedeutet das: Für einen Topologen sind ein Quadrat, ein Rechteck und ein Kreis genau das gleiche. Stellt euch vor, die Figuren wären aus Knete und ihr dürftet nichts abreißen oder ankleben, aber ihr dürft die Knete beliebig verformen. Wie sieht es dann mit einer Kugel aus? Ihr könntet sie beliebig zu einem Würfel oder auch zu einer Blume formen, richtig? Aber was wäre mit einer Donut- oder Brezelform? Hier hättet ihr keine Chance, aus einer Kugel einen Donut zu formen, denn ihr müsstet in die Kugel ein Loch boren – bei einer Brezel sogar gleich mehrere. Auch die oft zitierte Frage, was ein Donut mit einer Tasse gemeinsam hat, lässt sich so schnell beantworten: Für einen Topologen sind beide Formen identisch, denn beide haben genau ein Loch und können deshalb stetig ineinander verformt werden. Oder anders ausgedrückt: Sie sind homöomorph zueinander.

Und wofür braucht man das im „echten Leben“? Nun, beispielsweise begegnen euch bei jedem Blick auf eine Karte von U- oder S-Bahnen solche topologischen Reduzierungen. Auf solchen werden selten die exakten Längenverhältnisse zwischen Bahnhöfen angegeben. Wichtig ist nur, wo sich Bahnlinien kreuzen und wo es Eckpunkte (=Haltestellen) gibt.

 

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Artikel, in denen die Topologie bereits vorkam:
Zu den Urpsrungen der Topologie hatte ich bereits etwas in „Was aus dem Königsberger Brückenproblem wurde“ geschrieben. Dort geht es auch um die Euler’sche Charakteristik.
Eines der berühmtesten topologischen Probleme war die Vermutung von Poincaré. Inzwischen ist sie bewiesen, was sie zum ersten gelösten Millenniums Problem macht! Alles über diese berühmtem Probleme findet ihr hier: Teil 1 und Teil 2.
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(*) Die Donutfüllmaschine hat eine gute Freundin von mir gemalt, als ich mal eine Phase hatte, in der ich jedem (**) mit Freude topologische Ideen erklärt habe.

(**) Ja, jedem! Auch Fremden im Zug, die Satzfetzen mitbekommen hatten, sich irritiert zeigten und wir schließlich über Löcher im Käse und ihre topologischen Bedeutungen diskutierten.