Allgemein, Informatik, Mathematik, Physik

Die Millennium Probleme {Teil 1}

Die Millennium Probleme sind sieben mathematische Probleme, die 2000 in einer Liste zusammengefasst wurden. Vom Clay Mathematics Institute in Cambridge (USA) wurde diese Liste nicht nur veröffentlicht, sondern für jedes dieser Probleme wurden jeweils 1 Million Dollar als Prämie ausgelobt. Allerdings – seien wir ehrlich – wird niemand ernsthaft nur wegen dieses Preises eines der Probleme lösen. Denn es handelt sich nicht um Fragestellungen, die man mal eben mit ein bisschen Disziplin sofort lösen könnte – zumindest ist das wahrscheinlich so. Auf der anderen Seite: Wer weiß, vielleicht braucht man nur diese eine gute Idee, die noch niemand hatte und Zack: Das Problem ist gelöst.

Das Logo des Clay Mathematics Institute

In diesem Artikel möchte ich euch gerne die ersten drei der sieben Probleme etwas genauer vorstellen:

Die Riemann’sche Vermutung:
Die Riemann’sche Vermutung ist das einzige Problem, was sowohl auf der Millenium-Liste steht, als auch auf der Liste von 1900 von David Hilbert. Benannt ist die Vermutung nach Bernhard Riemann, der einige große Fortschritte bei der Lösung machen konnte. Bei der Riemann’schen Vermutung geht es um eine Untersuchung der Nullstellen für die komplexwertige Funktion \zeta(s) , wobei s eine komplexe Zahl mit einem Realteil Re(s) > 1 ist. Die Vermutung besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen einen Realteil von 1/2 haben. Die Zeta-Funktion ist dabei tatsächlich relativ einfach zu verstehen, es handelt sich nämlich um die Funktion, die durch die folgende unendliche Summe definiert ist:


Warum diese Vermutung so interessant ist? Beispielsweise, weil sie uns viel über die Verteilung von Primzahlen verraten würde, was zum einen mathematisch an sich spannend wäre und zum anderen die Kryptographie noch sicherer machen könnte. Das wiederum hätte ganz direkten Einfluss auf unser Leben, in dem gerade online viel verschlüsselt werden muss.

Erforschung der Yang – Mills – Theorie
Die beiden Physiker Chen-Ning Yang und Robert L. Mills stellten 1954 eine nicht-abelsche Eichtheorie auf, die zwei der vier Grundkräfte der Physik in eine Beziehung zueinander stellt: Die schwache und die starke Wechselwirkung. Ganz konkret wird vom Clay Institute nach einem Beweis für eine Massenlücke gefragt. Diese Massenlücke wird erwartet, aber ihre Existenz kann nicht bewiesen werden.

P vs NP – Problem
Dieses Problem hatte ich schon einmal im Zusammenhang mit Hamiltonkreisen erwähnt und einen Unterpunkt davon erläutert. Die heutige Formulierung geht auf Stephen Cook und Leonid Levin zurück, die beide (unabhängig voneinander) in den 1970er Jahren in Artikeln auf die Problematik hinwiesen. Tatsächlich ist die Fragestellung aber älter und wurde beispielsweise in einem Brief von Kurt Gödel an John von Neumann vom 20. März 1956 formuliert. Auch John Nash stellte die Frage 1950 schon in einem Brief an die NSA.

Die Grundfrage lässt sich allgemein so formulieren (frei nach der Clay-Stiftung):
Wenn es einfach ist, die Lösung eines Problems zu überprüfen, ist es dann auch einfach, eine Lösung für das Problem zu finden?

Tatsächlich gibt es viele Beispiele für mathematische Fragen, bei denen man die Richtigkeit leicht per Algorithmus überprüfen kann, aber es ist unvergleichlich schwerer, eine Lösung zu finden, wenn man lediglich die Aufgabenstellung hat. Ein gutes Beispeil dafür sind die Hamiltonkreise – wer mehr über sie erfahren möchte, klickt HIER. Zur Kategorisierung werden dafür verschiedene Komplexitätsklassen – wie N und NP – eingeführt. Die Frage des N vs NP – Problems besteht nun darin, in welcher Beziehung diese Klassen stehen.

 

Jedes dieser erwähnten Probleme ist auf seine Weise spannend und hat große Auswirkungen auf weitere mathematische (und teils auch physikalische oder informatische) Teilgebiete. Manche sind leichter zu verstehen, für andere braucht man extrem viel theoretische Basis, um allein die Aufgabenstellung zu begreifen. Außerdem ist jede dieser Vermutungen einen eigenen Artikel wert, in dem noch einmal genau auf sie eingegangen werden kann!

Welches dieser berühmten Probleme spricht euch am meisten an?

Worüber soll ich mehr schreiben?

 

Hier gibt es bald den zweiten Teil der Millennium Probleme zum Nachlesen!

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Die komplette Liste findet ihr auch noch einmal auf der Homepage des Clay Instituts.

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4 Gedanken zu „Die Millennium Probleme {Teil 1}“

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