Allgemein, Mathematik, Tipps & Tricks

Schriftliches Quadrieren

Heute gibt es mal einen Beitrag, der euch – wenn ihr es gut verkauft – glatt zum Zahlenzauberer werden lässt!
Ich nehme mal an, ihr habt alle schon einmal vom schriftlichen Rechnen gehört – Addition, Subtraktion und auch Multiplikation und Dividieren werden in der Schule normalerweise gelehrt. Mit ein bisschen Übung kann man damit schon ziemlich viel ausrechnen und es kann einem das arithmetische Leben durchaus erleichtern. Aber wer von euch hat schon einmal etwas von schriftlichem Quadrieren gehört? Wer kann mal eben schnell das Quadrat von 42, 87 oder 99 ausrechnen? Wohlgemerkt ohne Taschenrechner…

Tatsächlich ist der Trick ganz einfach und auch ganz einfach zu erklären, dazu später mehr:
Ihr sucht euch eine Zahl aus, nehmen wir zu Anfang etwas leichtes, sagen wir 12. Dann malt ihr euch eine kleine Tabelle auf und schreibt die 12 in die oberste Zeile:

Nun müsst ihr die beiden Ziffern einzeln quadrieren und folgendermaßen in die Tabelle schreiben:

Der zweite Schritt ist: Ihr multipliziert die beiden Ausgangsziffern und verdoppelt das Ergebnis. Diese Zahl kommt wieder in die Tabelle:

Nun müsst ihr nur noch beide mittleren Zeilen addieren und schon habt ihr euer Quadrat gefunden:

Zugegebenermaßen muss man das ein paar Mal üben, bis es wirklich schnell geht und ein paar Kopfrechenschritte sind auch nötig. Aber wenn man den Dreh raus hat, lassen sich so wunderbar und schnell alle Quadratzahlen zweistelliger Zahlen berechnen. Auch für mehr Stellen kann man das Vorgehen anpassen, da muss man dann nur mit dem Verschieben der Spalten etwas aufpassen.

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Was steckt hinter dem Vorgehen und der kleinen Tabelle?

Um diese Frage zu beantworten, muss man sich kurz überlegen, wie man zweistellige, natürliche Zahlen anders schreiben könnte. Als Beispiel bleiben wir einfach bei der 12.
Dabei ist 12 nichts anderes als 12 = 1 \cdot 10 + 2 und wenn man die 12 quadieren möchte, ist das das gleiche wie:

Oder ganz allgemein, wobei x eine beliebige 2-stellinge, natürliche Zahl ist und a und b 1-stellige, natürliche Zahlen sind:

Und genau diese Erkenntnis hat irgendein kluger Kopf dann ein wenig übersichtlicher umgeschrieben und zwar in die obige Tabellenform:

In dieser Tabelle stecken die beiden 10-Potenzen quasi implizit drin. Denn was bedeutet, dass der mittlere Term mit 10 multipliziert wird? Anschaulich wird er eine Stelle nach links geschoben und genau das passiert auch in der Tabelle. Das gleiche passiert bei dem Quadrat von b, was mit 100 multipliziert wird – hier wird gleich um zwei Stellen nach links geschoben. In der Tabelle stecken also die Umformungen von oben genau drin, sie werden dort aber so aufgeschrieben, dass man sie sich möglichst leicht merken und auch umsetzen kann. Niemand braucht hier kompliziert mit 10 oder 100 zu multiplizieren, wir schreiben einfach die entsprechenden Ergebnisse in die richtige Spalte!

 

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Wie wäre es nächstes Mal mit dem schriftlichen Wurzel ziehen? Wer macht mit?

 

P.S. Habt ihr sie entdeckt? Binomische Formel kommen immer mal wieder… 😉

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