Die Millennium Probleme {Teil 2}

Die Millennium Probleme sind sieben mathematische Probleme, die 2000 in einer Liste zusammengefasst wurden. Vom Clay Mathematics Institute in Cambridge (USA) wurde diese Liste nicht nur veröffentlicht, sondern für jedes dieser Probleme wurden jeweils 1 Million Dollar als Prämie ausgelobt. Allerdings – seien wir ehrlich – wird niemand ernsthaft nur wegen dieses Preises eines der Probleme lösen. Denn es handelt sich nicht um Fragestellungen, die man mal eben mit ein bisschen Disziplin sofort lösen könnte – zumindest ist das wahrscheinlich so. Auf der anderen Seite: Wer weiß, vielleicht braucht man nur diese eine gute Idee, die noch niemand hatte und Zack: Das Problem ist gelöst.

Die ersten drei der Probleme habe ich euch bereits in einem Artikel vorgestellt, heute habe ich die restlichen vier für euch dabei. HIER findet ihr den anderen Artikel.

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Werfen wir einen genaueren Blick auf den zweiten Teil der sieben Probleme:

Navier Stokes Gleichung
Die Navier-Stokes-Gleichung beschreibt das Verhalten von den auf der Erde am meisten vorkommenden Fluiden – also Wasser, Ölen und auch Luft. Obwohl es keinen Beweis für die Existenz von Lösungen und deren Eindeutigkeit gibt, wird mit der Gleichung tagtäglich gearbeitet. Das ist ein interessantes Beispiel für einen mathematischen Sachverhalt, der im Alltag angewendet wird, aus der Sicht eines Mathematikers aber noch viele Fragezeichen aufruft.

Hodge – Vermutung
Diese Vermutung, die nach William Vallance Douglas Hodge benannt wurde, gehört zum Teilgebiet der algebraischen Geometrie. Mir fällt es bei dieser Vermutung recht schwer, sie einfach und anschaulich zu erklären, weil sie erst einmal sehr theoretisch mathematisch ist. Man benötigt viele Definitionen und ein Gefühl dafür, wie beispielsweise Varietäten mit algebraischen Zyklen zusammenhängen und wie diese eine Kohomologiegruppe aufspannen. Grob geht es um eine Verbindung zwischen der algebraischer Topologie und der zugehörigen Geometrie von nicht-singulären komplexen algebraischen Varietäten. Bewiesen ist die Vermutung für ein paar Spezialfälle und eine Dimension kleiner 3, für 4 ist sie unbekannt.

Poincarés Vermutung
Diese Vermutung ist die einzige aus dieser Liste, bei der man inzwischen von einem „Satz“ und nicht mehr von einer „Vermutung“ sprechen darf, denn sie wurde 2002 von Grigorij Perelman bewiesen! Anschaulich geht es um folgendes Problem: Wenn man einen Ball nimmt und ein Gummiband darum spannt, ist es möglich, dieses Band zu einem Punkt zusammenzuziehen, ohne dass das Band den Ball verlässt. Spannt man beispielsweise um einen Donut ein Gummiband, ist dies nicht unbedingt möglich. Oder mathematischer ausgedrückt: In einem Raum mit der Dimension 3 ist eine Oberfläche dann homöomorph (also topologisch identisch) zu einer nicht-begrenzten Kugeloberfläche, wenn sich jede geschlossene Schleife auf dieser Oberfläche zu einem Punkt zusammenziehen lässt.
Die Poincaré’sche Vermutung behandelt die gleiche Fragestellung in der 3. Dimension (also im 4 dimensionalen Raum). Zu beweisen ist:

Jede einfach zusammenhängende, kompakte, unberandete, 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre.

Die Geschichte von Perelman und seinem Beweis ist selbst schon eine eigene Erzählung wert und schlug 2006 und 2010 hohe Wellen. Er schlug nämlich zuerst die Fields-Medaille aus und lehnte anschließend sogar noch sein Preisgeld von einer Million Dollar ab. Warum genau? So richtig klar ist das noch immer nicht, zum einem scheint ihm Geld tatsächlich nicht besonders wichtig zu sein, zum anderen hat er sich mit der universitären Mathematik und vor allem einigen Menschen überworfen oder fühlte sich lange ausgeschlossen.

Birch und Swinnerton-Dyer Vermutung
Dieses Problem benötigt wieder einiges an mathematischer Vorkenntnis, um es wirklich zu verstehen, aber ich werde versuchen, eine Idee davon zu geben. Zentral in dieser Vermutung sind elliptische Kurven (was nicht das gleiche wie Ellipsen sind). Es sind Funktionen der Form , wobei a und b ganze Zahlen sind. Der Graph dieser Funktionen ist dann eine elliptische Kurve. Die Vermutung von Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer stellt nun eine Verbindung auf zwischen der Anzahl der Punkte auf der elliptischen Kurve mod p und zum Rang der Gruppe rationaler Punkte auf der Kurve.
Rationale Punkte kann man auf elliptischen Kurven beispielsweise so untersuchen, dass man zwei rationale Punkte addiert. Die Summe ist dann wieder ein rationaler Punkt. Das Verfahren dazu lässt sich leicht geometrisch darstellen. Man zieht dafür eine Gerade durch die zu addierenden Punkte P und Q. Der dritte Schnittpunkt auf der Kurve, der dadurch entsteht, wird an der x-Achse gespiegelt und ergibt somit die Summe:

Diese Vermutung wurde bereits für einige Spezialfälle gelöst, ein allgemeiner Beweis steht allerdings nocht aus. Gerade in der Kryptographie spielen elliptische Kurven eine große Rolle.

 

Jedes dieser erwähnten Probleme ist auf seine Weise spannend und hat große Auswirkungen auf weitere mathematische (und teils auch physikalische oder informatische) Teilgebiete. Außerdem ist jede dieser Vermutungen einen eigenen Artikel wert, in dem noch einmal genau auf sie eingegangen werden kann!

Welches dieser berühmten Probleme spricht euch am meisten an?

Worüber soll ich mehr schreiben?

Hier gibt es noch einmal den ersten Teil der Millenniums Probleme zu Nachlesen!

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Die komplette Liste findet ihr auch noch einmal auf der Homepage des Clay Instituts.

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