Allgemein, Mathematik

Das Königsberger Brückenproblem

… und die Entstehung der Graphentheorie.

Leonhard Euler stieß auf ein Rätsel, was sich die Bewohner der Stadt Königsberg (heute Kaliningrad) ausgedacht hatten: Königsberg hatte vier Stadtteile, die durch insgesamt sieben Brücken über den Fluß Pregel miteinander verbunden waren. Die Bewohner fragten sich, ob es möglich wäre, einen Spaziergang zu machen, bei der jede Brücke genau einmal betreten würde. Natürlich kann man bei solch einem praktischen Problem erst einmal einige Versuche starten und sehen, ob man solch einen Weg findet. Findet man einen, ist das Problem gelöst. Findet man keinen, ist es aber noch lange nicht geklärt. Euler ging das Problem sehr mathematisch – logisch an, indem er es auf die Kernfrage zusammen schrumpfte und es somit noch klarer vor ihm lag: Statt sich selbst auf die Brücken zu stellen oder einen Stadtplan zu studieren, auf dem viele ablenkende Zusatzinformationen standen, zeichnete er ein Diagramm. Auf diesem Diagramm wurden die Stadtteile durch Punkte und die Brücken durch Linien gekennzeichnet.

Das ist eines der grundlegendsten Talente, die man als Mathematiker mitbringen sollte: So stark zu vereinfachen, wie es geht, aber eben nicht mehr! Man muss erkennen, was der Kern des Problems ist und darf sich nicht von unwichtigen Nebeninformationen ablenken lassen.


Euler erkannte schnell ein allgemeines Muster für diese Arten von Graphen: Von jedem Punkt aus muss eine gerade Anzahl von Linien wegführen – eine zum Betreten der Brücke, eine zum Verlassen. Es gibt genau zwei Ausnahmen: Der Startpunkt und der Endpunkt müssen nur verlassen, beziehungsweise erreicht werden und dürfen deswegen eine ungerade Anzahl an Linien haben. Im Jahre 1736 veröffentlichte Euler eine Abhandlung über dieses Königsberger Brückenproblem und legte damit den Grundstein für die Graphentheorie.

Ein sogenannter Eulerweg existiert in einem Graphen nur genau dann, wenn entweder alle Punkte gerade Anzahlen von Linien haben oder wenn es genau zwei Punkte mit ungeraden Anzahlen von Linien haben. Ein Eulerweg ist dazu noch ein Eulerkreis, wenn der Start- und Zielpunkt identisch sind.

Das Königsberger Brückenproblem, wie Leonhard Euler es darstellte: Stadtteile werden durch Punkte und die Brücken durch Linien gekennzeichnet.

Ist es nun also möglich, einen Spaziergang zu unternehmen, bei der jede Brücke genau einmal betreten wurde? Oder mathematisch ausgedrückt: Existiert ein Eulerweg für den oben gezeigten Graphen? Nein, denn in Königsberg haben alle vier Punkte eine ungerade Anzahl von Linien, die von ihnen wegführen. Nach Euler dürften aber nur genau zwei oder gar keine Punkte ungerade Anzahlen von Linien haben.

Ich finde, dies hier ist ein besonders schönes Beispiel für ein kleines Rätsel, was in den Händen eines Mathematikers zuerst zu einem Theorem und dann zum Grundstein für ein ganz neues Teilgebiet wird.

 

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Habt ihr Lust, das Ganze selbst auszuprobieren? Was wäre, wenn Königsbergs Brücken sich als die folgenden Graphen hätten darstellen lassen? Wäre der Spaziergang dann möglich? Für welchen Graphen existiert ein Eulerweg?

  

Wofür man die Graphentheorie gebrauchen kann und was es noch für spannende Eigenschaften und Beziehungen unter Graphen gibt, erfahrt ihr dann demnächst.

 

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8 Gedanken zu „Das Königsberger Brückenproblem“

  1. Mathe habe ich nur gemacht weil ich so einen tollen Lehrer hatte, der super interessant erklaeren konnte und ausserdem noch gut aussah. Studiert habe ich Kulturwissenschaften, gelernt Verlagskauffrau und dann bin ich in den Bereich Gesundheit und Sport abgewandert, als ich meine Kinder bekam. Das Leben ist einfach zu lang fuer nur einen Beruf 🙂 und zu kurz, um alles zu machen. Mark Twain: es gibt im Leben zwei wichtige Tage: der Tag an dem Du geboren wurdest und der Tag an dem Du weisst warum. In diesem Sinne, viel Erfolg in allem was Du machst und sonnige Gruesse aus Montreal

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  2. das ist das Haus vom Nikolaus………ich erinnere mich, dass ein Eulerweg moeglich war. Da gab’s auch noch den Hamiltonweg, oh das hat mich in Mathe total aus der Bahn geworfen. Ich bin da eher weniger geduldig. Super Beitrag! Danke!

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    1. Danke schön für deinen Kommentar! 🙂
      Genau, Hamilton ist quasi die gleiche Fragestellung nur mit den Knotenpunkten, statt der Kanten. Da gibst du mir doch gleich noch ein neues Thema. 😉
      Hast du Mathe studiert?
      Liebe Grüße, Becky

      Gefällt 1 Person

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