Allgemein, Mathematik, Was ist...?

Die Geschichte hinter der Penrose – Parkettierung

Über die mathematische und astrophysikalische Forschung von Roger Penrose hatte ich euch ja bereits einiges erzählt, aber ein Thema, was wir bis jetzt eher am Rande gestreift haben, ist seine berühmte Parkettierung! Genau diese wollen wir uns heute etwas genauer anschauen!

Die Penrose – Parkettierung ist eine sogenannte aperiodische Parkettierung der Fläche: Mit nur zwei Figuren schaffte Penrose es, die Fläche vollständig ohne Löcher oder Überlappungen zu füllen, sodass sich das Muster niemals wiederholt! Damit löste er eine Frage, die seit Jahrhunderten offen gewesen war!

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Ein Beispiel für eine Penrose – Parkettierung (Quelle vgl. unten)

Penrose hat in Interviews berichtet, wie er schon als Kind fasziniert war von einem Buch von Kepler, in dem zahlreiche islamische Mosaike abgebildet waren. In diesem Buch blätterte er immer wieder gern und staunte über die tollen Muster. Als er dann Mathematiker wurde, beschäftigte er sich aber erst einmal mit vollkommen anderen Themen…

Bei einem Treffen in Oxford traf er Simon Kochen, der ihm von Raphael Robinsons Arbeit erzählte. Dieser versuchte, die kleinste Anzahl von verschiedenen Formen zu finden, die ein aperiodisches Muster erzeugen konnten. Robinson hatte beweisen können, dass sechs Figuren reichen würden. Angestachelt davon, spielte Penrose mit einer Parkettierung, die er vorher aus Spaß entwickelt hatte, nachdem er ein Logo auf einem Briefkopf gesehen hatte. So sagte er schon bei diesem Treffen zu Kochen: „I can do it with 5!“. Anschließend ging er nach Hause und schaffte es, die Anzahl auf 2 zu drücken. Was seine erste Reaktion war? Enttäuschung! Er sagt selbst, dass er nicht genau weiß, warum er so enttäuscht war, aber es hatte wohl damit zu tun, dass er das Gefühl hatte, dass das Ganze trivial und viel zu einfach war. Etwas später traf er seinen Freund John Conway auf einer Konferenz in Exceter, der ihn fragte, ob er in letzter Zeit etwas Schönes entdeckt hätte. Penrose erzählte ihm von seiner Parkettierung und Conway war der derjenige, der die Entdeckung wirklich spannend fand und wiederum seinem Freund Martin Gardner davon berichtete. Gardner machte die Parkettierung dann 1977 einer breiteren Öffentlichkeit in seiner Kolumne im Scientific American bekannt.

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Robinsons 6 verschiedene Kacheln (Quelle: Gardners Artikel, vgl. unten)

Wie sieht so eine Penrose – Parkettierung denn nun konkret aus?
Es gibt mehrere, verschiedene Versionen, aber ich zeige euch heute die bekannteste: Sie besteht aus zwei Rauten mit gleicher Kantenlänge, aber unterschiedlichen Innenwinkeln: Die schlanke Raute hat Innenwinkel von 36 ° und 144°. Die breitere Raute hat Innenwinkel von 72° und 108°. Was dabei auffällt, ist, dass alle Innenwinkel durch 36 teilbar sind. Spannend ist dabei auch, dass der Goldene Schnitt überall in den Seiten- oder Flächenverhältnissen auftaucht.
Beim Zusammenlegen der Parkettierung gibt es ein paar Regeln zu beachten. Die wichtigste davon ist die sogenannte „Parallelogrammregel“, die besagt, dass zwei Rauten nicht so zusammengefügt werden dürfen, dass sie zusammen ein Parallelogramm bilden. Um diese Regeln zu veranschaulichen, kann man den einzelnen Rauten Einkerbungen oder Farben hinzufügen.

PenroseTiling1978
Die beiden Rhomben, wie Penrose sie für Eureka 1978 zeichnete. (Quelle unter dem Artikel)

Die Parkettierung ist übrigens inzwischen an einigen Stellen öffentlich zu sehen, zum Beispiel vor dem Mathematikgebäude in Oxford, in der Fußgängerzone von Helsinki, in San Francisco am Transbay Transit Center (wobei dieses nicht korrekt umgesetzt ist) und einigen anderen Plätzen. Ich hoffe, wir können in den nächsten Jahren ein paar davon selbst besuchen, wenn es soweit ist, werde ich sicherlich hier darüber berichten! Wo die Parkettierung nicht zu finden ist: Im Haus von Penrose selbst!

Auch ein Patent auf die Parkettierung hält Penrose, was ihn allerdings nicht selbst veranlasste, in dem berühmten Streit um Toilettenpapier mit seinem Muster vorzugehen. Geld soll er bei der außergerichtlichen Einigung ebenfalls keines bekommen haben, die Summe reichte wohl recht genau für die Bezahlung der Gerichtskosten…

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Roger Penrose auf einer seiner Parkettierungen im Foyer des Mitchell Institute Building at Texas A&M University, März 2010

Dan Shechtman entdeckte 1982 Kristallstrukturen, die eine fünfzähliche Symmetrie aufwiesen. Viele andere Chemiker konnten das nicht glauben, letztlich handelt es sich hierbei aber um eine 3dimensionale Umsetzung von Penroses Entdeckung. Shechtmans Entdeckung ist inzwischen unter dem Begriff „Quasikristalle“ bekannt und brachte ihm 2011 den Nobelpreis ein – nicht wenige sind der Meinung, dass Penrose ebenfalls einen Teil der Auszeichnung verdient hätte.

Eine Übersicht über alle Artikel, die ich bereits über Roger Penrose geschrieben habe, findet ihr in diesem Artikel oder einfach unter diesem Stichwort!

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„Penrose tiles to trapdoor ciphers“ von Martin Gardner, 1977, Scientific American
„Pentaplexitiy“ von Roger Penrose, Eureka, Number 39, April 1978
Patent von Roger Penrose auf seine Parkettierung, Espacenet.com
Why did the mathematician cross the road? – Numberphile2 Interview, veröffentlicht am 8.8.2020
Dan Shechtman Facts, Nobelprize.org, abgerufen am 29.07.2021

Bild von der Parkettierung ganz oben stammt aus:
Flicker, Felix & Simon, Steven & Parameswaran, S. A. (2020). Classical Dimers on Penrose Tilings. Physical Review X. 10. 10.1103/PhysRevX.10.011005.

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