Allgemein, Mathematik

Wie groß ist die Unendlichkeit?

Wie groß ist eigentlich Unendlich? Und gibt es unendlicher, als unendlich?

Das sind große Fragen und viele sind daran gescheitert, sie zu beantworten. Jeder hat so eine Intuition, aber wie beantworten Mathematiker diese Fragen? Genau darum geht es heute!

Georg Cantor hat unser Verständnis über Unendlichkeit und Mengen grundlegend mit seiner Arbeit verändert! Heute möchte ich euch etwas über sein berühmtes Diagonalisierungsverfahren erzählen. Dieses Verfahren stellte er 1874 in einem Artikel vor.

Georg Cantor hat unsere Vorstellung der Unendlichkeit für immer verändert und konkretisiert!

Zwei Begriffe brauchen wir im Vorfeld: Kardinalzahl und Ordinalzahl. Beide klingen sehr abstrakt, gleichzeitig kann man sie sich aber ganz gut vorstellen: Kardinalzahlen sind Zahlen, bei denen es nicht um eine Rangfolge, sondern nur um eine Anzahl geht. Beispielsweise, wenn man zum Essen 3 Teller auf den Tisch stellt – für jeden Menschen einen. Hierbei ist egal, ob 3 größer oder kleiner als 5 ist, es ist nur eine Anzahl an sich entscheidend. Es wird also eine Zuordnung von Mensch zu Tellern vorgenommen. Anders ist es bei den Ordinalzahlen, hierbei ist die Beziehung oder auch die Rangordnung zwischen den Zahlen von Bedeutung. Diese Unterscheidung ist ganz entscheidend dafür gewesen, wie man mit der Unendlichkeit umgehen muss.

Mithilfe der Kardinalzahlen kann man jetzt im Unendlichen in gewisser Weise zählen!

Beispielsweise könnte man sich mal überlegen, ob es mehr natürliche Zahlen oder mehr Quadratzahlen gibt. Intuitiv würden die meisten wohl annehmen, dass es mehr natürliche Zahlen gibt, tatsächlich ist das aber nicht so, denn wir können jeder natürlichen Zahl n einfach ihre Quadratzahl n^2 zuordnen. Schaut man sich die Zahlenfolgen an, sind die Quadratzahlen zwar deutlich seltener, aber das stört im Unendlichen einfach nicht. Die Menge der natürlichen Zahlen und der Quadratzahlen haben also die gleiche Kardinalzahl.

Ein wenig komplizierter wird es, wenn man sich die rationalen Zahlen anschaut. Das sind alle Zahlen, die als ein Bruch aus natürlichen Zahlen geschrieben werden können. Diese Menge erscheint viel größer zu sein, als die natürlichen Zahlen, weil zwischen jeder natürlichen Zahl noch einmal unendlich viele Bruchzahlen liegen. Diese Menge MUSS also größer sein, oder? Diese Frage stellte sich auch Cantor und fand eine spannende Methode zur Beantwortung: Das sogenannte Diagonalisierungsverfahren. Beim Diagonalisierungsverfahren schreibt man die Brüche folgendermaßen auf:

Folgt man nun der eingezeichneten Linie, kann man die rationalen Zahlen abzählen und damit jeweils einer natürlichen Zahl zuordnen. Man zählt dabei für die Eindeutigkeit nur die vollständig-gekürzten Brüche mit. Also wird zum Beispiel  \frac{2}{4} nicht mitgezählt, weil  \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ist. Um nun alle rationalen Zahlen abzuzählen, ordnet man der 1 die Null zu, zählt dann wie oben weiter, fügt aber hinter jedem Bruch auch sein Negatives mit ein. Es entsteht also folgende Zuordnung:

Auch diese beiden Mengen haben also die gleiche Kardinalzahl oder auch Mächtigkeit! Man nennt sie auch „abzählbar unendlich viele“ und bezeichnet sie meist mit dem hebräischen Buchstaben Aleph: \aleph_0.

Mit \aleph_1 wird übrigens die Mächtigkeit der reellen Zahlen bezeichnet. Warum beide Mengen nicht die gleiche Mächtigkeit haben, erzähle ich euch dann demnächst!

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Bildquelle: Britannica Kids

Advertisements

4 Gedanken zu „Wie groß ist die Unendlichkeit?“

  1. Unendlich! Selbst auf unserer Abi Party hatte mein Mathelehrer versucht mir DAS zu erklaeren. Zum Schluss hat er gesagt: Sabine, stell Dich vor einen Spiegel und habe einen Spiegel hinter Dir. Das Spiegeln (in einem bestimmten Winkel) ist unendlich. Das Universum…….unendlich. Geht nicht. Deine mathematische Erklaerung schon nicht schlecht, aber ich glaube da ist bei mir einfach eine Blockade. Sonnige Gruesse Sabine

    Gefällt mir

    1. Ui, da habe ich wohl genau deine Achillesferse getroffen. 😉 Demnächst kommt noch einmal ein ganz anderer Zugang zur Unendlichkeit, vielleicht sagt der dir mehr zu. 😉
      Übrigens glaube ich ganz ehrlich, dass jeder, der behauptet, er könnte sich die Unendlichkeit vorstellen, hat sie entweder nicht verstanden oder will einfach angeben…
      Winterliche Grüße, Becky

      Gefällt 1 Person

Ich freue mich auf deinen Kommentar!

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden /  Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden /  Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden /  Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden /  Ändern )

Verbinde mit %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.