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Cardano, Tartaglia und die kubischen Gleichungen

Die Geschichte, die ich euch heute mitgebracht habe, ruft bei mir viele Erinnerungen hervor. An der Oberfläche geht es um die Lösung kubischer Gleichungen und den verbundenen Streit zwischen einigen großen, italienischen Mathematikern der Renaissance. Für mich persönlich ist es die Geschichte eines der ersten Probleme der Mathematik, die mich richtig gefangen nahmen. Ich saß in der Schule einige Zeit daran, füllte viele, viele Blätter mit Gleichungen (wenn ich mich eigentlich mit anderen Themen hätte beschäftigen sollen…) und bewies mir die Finger wund, bekam einige schräge Blicke zugeworfen, untermauerte fleißig einen leicht schrägen Mathematikerruf… Ich fand es großartig!

In der Mathematik werden Gleichungen nach ihren Graden unterschieden. Dabei ist der „Grad“ die höchste Potenz in der die Variable auftaucht. Das heißt 4x^2+3 = 0 ist eine Gleichung mit Grad 2. Man nennt sie auch „quadratische Gleichung“. Die quadratischen Gleichungen konnten schon die Menschen im alten Babylon vor rund 4000 Jahren lösen. Es gibt alte Tontafeln, die entschlüsselt wurden und auf denen genau erklärt wird, wie man quadratische Gleichungen lösen kann – übrigens benutzten sie eine andere Notation, eine andere Zahlenbasis, aber das Prinzip ist das gleiche wie in der aus der Schule bekannten „pq-Formel“.

Girolamo Cardano, der übrigens heute vor genau 516 Jahren geboren wurde.

Mit kubischen Gleichungen sieht das Ganze etwas komplizierter aus: In einer kubischen Gleichung kommt die Variable maximal in der 3. Potenz vor. Also beispielsweise x^3 + 4x^2+3 = 0 oder allgemein x^3 + ax^2 + bx + c = 0 , wobei a, b, c im konkreten Fall bekannte rationale Zahlen sind. Bis zur Renaissance wusste man nicht, wie man diese Art von Gleichungen allgemein lösen konnte und selbst heute wird es noch oft als „nicht lösbar“ in der Schule vorgestellt. Zugegeben, es ist mühsam, aber definitiv möglich!

An diesem Problem und seiner Lösung entzündete sich also ein Streit. Die Hauptakteure waren Girolamo Cardano und Niccolò Fontana (genannt: Tartaglia, der Stotterer), in den Nebenrollen waren dann noch dabei: Antonio Fior, Lodovico Ferrari, Scipio del Ferro und Annibale del Nave. Das sind erst einmal viele Namen, aber vielleicht hilft es ja für die Übersicht, wenn man sie gleich am Anfang einmal sammelt.
Cardano war um 1520 herum pleite, versuchte durch Glücksspiel unter Hilfenahme seiner mathematischen Fähigkeiten wieder Geld zu bekommen und veröffentlichte schließlich ein bedeutendes Algebrabuch, seine „Ars Magna“. In diesem Buch schrieb er die erste, offizielle Erwähnung der Lösung von kubischen Gleichungen nieder. Er behauptete gar nicht, dass er diese selbst gefunden hatte, trotzdem fühlte Tartaglia sich übergangen und betrogen und das kam so…

Niccolò Fontana – genannt Tartaglia

Die beiden Mathematiker Tartaglia und Fior lieferten sich im Jahr 1535 einen öffentlichen Wettkampf. Es ging darum, sich gegenseitig kubische Gleichungen zu stellen und der andere musste sie lösen. Nun wurden kubische Gleichungen damals in drei unterschiedliche Arten eingeteilt. Für eine dieser Arten hatte Fior einen Lösungsweg. Zuerst hatte auch Tartaglia für lediglich eine (andere) Art einen Algorithmus, fand dann aber auch für beide anderen Arten Lösungswege. Letztlich besiegte Tartaglia Fior haushoch.

Cardano arbeitete zu dieser Zeit an seiner „Ars Magna“ und interessierte sich aus diesem Grund sehr für die erwähnten Algorithmen. Er setzte sich mit Tartaglia in Verbindung und bekam tatsächlich seine Forschungsergebnisse – vermutlich allerdings nur mit dem Versprechen, sie nicht selbst zu veröffentlichen.
Nun arbeitete aber ein Schüler von Cardano – Lodovico Ferrari – an einem Algorithmus, um Gleichungen 4. Grades zu lösen. Auch dies gelang, nur musste dafür an einer Stelle eine Gleichung 3. Grades gelöst werden und Ferrari verwendete Tartaglias Methode. Cardano konnte also Ferraris Algorithmus nur veröffentlichten, wenn er auch Tartaglias in seine „Ars Magna“ aufnehmen würde – was er tat. Allerdings fand Cardano vorher noch heraus, dass Fior (der, der den Wettstreit mit Tartaglia am Anfang ausgetragen hatte) ein Schüler von Scipio del Ferro gewesen war und dass dieser ebenfalls eine Lösung für alle drei Arten kubischer Gleichungen gehabt hätte. Sein Nachlass befand sich in den Händen Annibale del Naves. Cardano reiste also zu del Nave, fand die Aufzeichnungen und veröffentlichte sie in seinem großen Algebrabuch. Tartaglia gefiel diese Geschichte überhaupt nicht – was man durchaus verstehen kann – kam dagegen allerdings auch nicht an.

Und jetzt wollt ihr noch wissen, wie ihr kubische Gleichungen lösen könnt?
Für kubische Gleichungen der Form: x^3 + ax + b = 0 mit a, b bestimmte Zahlen gilt:

Wenn die zweite Potenz ebenfalls auftaucht, kann man sie mit einem Trick verschwinden lassen, das würde hier aber eindeutig den Rahmen sprengen. Wenn es euch interessiert, kann ich dazu demnächst gerne noch einmal etwas schreiben.

In Büchern zu dem Thema steht an dieser Stelle dann immer, dass man den Beweis leicht nachvollziehen oder nachlesen kann. Zweiteres habe ich noch nirgends komplett gesehen. Ersteres habe ich getan – vergleiche den Anfang des Textes – und tatsächlich ist es mathematisch gesehen nicht schwer, aber aufwändig und man muss sich extrem konzentrieren, weil man Term-Monster vor sich hat, die man erst einmal bändigen muss. Wer sich für einige Tage beschäftigen möchte, kann sich ja mal dran setzen.

Was war das erste mathematische oder naturwissenschaftliche Problem, was euch so richtig gefangen genommen hat?

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Ein Gedanke zu „Cardano, Tartaglia und die kubischen Gleichungen“

  1. Kubische Gleichung, da bekomme ich jetzt noch Gaensehaut. Es wird mir nie klar werden und es geht einfach nicht in meinen Kopf. Aber das gilt auch fuer die Unendlichkeit. Das beschaeftigt mich heute noch. Mein Mathelehrer hat versucht mir das klar zu machen mit dem Spiegel im Spiegel. Unendlichkeit geht einfach nicht. Das Universum – unendlich – darueber nachzudenken bereitet mir schon Kopfschmerzen. Nachts die Sterne zu sehen und sich die Unendlichkeit vorstellen, die fuer mich nicht greifbar ist. In diesem Sinne sommerlichen Gruss (wir haben satte 30 Grad plus) aus Wendake/Quebec

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